CALCULO INTEGRAL: 4.4 Radio de convergencia

El radio de convergencia de una serie de la forma $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ , con $a_n,x,x_0\in\mathbb{R}$ , viene dado por la expresión:

$R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right |}$

Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ , con $a_n,x,x_0\in\mathbb{R}$ , recibe el nombre de serie de potencias centrada en $x_0$ . La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de $x$ que verifica que $|x-x_0|<r$ , donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de $x$ pertenecientes al intervalo $(x_0-r,$ $x_0+r)$ , ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para $x_0$ , $r=0$ . Si lo hace para cualquier valor de $x$ , $r=$ $\infty \,\!$

CALCULO INTEGRAL

martes, 10 de julio de 2012

4.4 Radio de convergencia

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